En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, le grand théorème de Fermat traite des racines de l'équation diophantienne suivante, d'inconnues x, y et z
Il stipule qu'il n'existe aucune solution non triviale si le paramètre n est strictement supérieur à deux.
Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Si, à l'exemple de la question de l'article, l'expression est souvent simple, la résolution s'avère en général ardue.
Une version plus précise de la conjecture fut ensuite proposée, décrivant le résidu du zéro en s = 1 en fonction d'invariants arithmétiques de la courbe étudiés par Cassels, Tate, Shafarevich et d'autres.
Par exemple, considérons un polynôme en deux variables f(x,y) non nul dont les coefficients sont des nombres rationnels. Supposons que la courbe projective plane associée n'ait pas de singularités. Intéressons-nous aux solutions de l'équation f(x,y) = 0 en des nombres rationnels (x,y). Alors :
█∎Si le degré de f est égal à 1 ou 2 (le cas d'une droite ou d'une conique), soit cet ensemble est vide (par exemple f(x,y) = x2 + y2 + 1), soit il est infini, auquel cas la courbe projective associée est isomorphe à une droite projective.
Si le degré de f est supérieur ou égal à 4, Gerd Faltings a démontré que cet ensemble est fini (conjecture de Mordell).
█∎Si le degré de f est égal à 3, tous les cas sont possibles. Si cet ensemble est non-vide, la courbe projective associée est une courbe elliptique. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit alors la « taille » (le rang) de l'ensemble des solutions en fonction du prolongement méromorphe d'une série génératrice formée à partir du nombre de solutions de f(x,y)=0 modulo p pour tout nombre premier p. Elle prédit en particulier le fait de savoir si cet ensemble est fini ou infini.
C'est en faisant n'importe quoi qu'on devient n'importe qui [...]